MATEMATIKA INFORMATIKA STRUKTUR ALJABAR

Soal Matematika Informatika 2IA14

Anggota Kelompok :

Hendri Nindya S (53412401)                                  Farach Putri Bayu (52412754)

M Ridwan Adi P (54412333)                                   Lucky Syafnando (544122254)

M Adi Fahmi (544122842)                                      Darmawan Abdillah (51412721)

Ridwan Yuliansyah (56412326)                              Dany Satria Perdana (51412711)

1.   Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P berbentuk ring ?

              A. Asosiatif                                                    C. Komutatif

              B. Distributif                                                 D. A,B,C Benar

Penyelesaian :

P = {3x|x ∈ Z }

Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.

a+b = b+a

3+6 = 6+3

            9   =   9

Langkah kedua kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi perkalian.

            a.b = b.a        

            3.6 = 6.3

            18 = 18

Jadi P adalah komutatif.

2.      Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ..... macam

a.      1

b.      2

c.       3

d.      4

Penyelesaian : ada 4 macam sistem aljabar pada struktur aljabar yaitu :     Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup

3.      Dibawah ini adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi,kecuali...

a.      Grup

b.      Monoid

c.       Polaroid

d.      Grupoid

Penyelesaian : Hanya ada Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup dalam Struktur aljabar.

4.      Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner :

A * B = A + B + AB

Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?

a.      Grup

b.      Semigrup

c.       Grupoid

d.      Monoid

           

            Penyelesaian :

1.      Tertutup

Ambil sebarang A, B € N, karena A, B € N, dan AB € N maka

A * B = A + B + AB € N.

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

2.      Assosiatif

Ambil sebarang A, B, C € N, maka

(A * B) * C = (A + B + AB) * C = (A + B + AB) + C + (A + B + AB) C = A + B + AB + C + AC + BC + ABC

A * (B * C) = A * (B + C + BC) = A + (B + C + BC) + A (B + C + BC) = A + B + C + BC + AB + AC + ABC

Maka untuk setiap A, B, C € N berlaku

(A * B) * C = A * (B * C).

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.

5.      Dalam sebarang group berlaku sifat-sifat berikut, kecuali :

a. Hukum kanselasi kiri : jika ax=ay maka x=y

b. Hukum kanselasi kanan : jika xa=ya maka x=y

c. Hukum kanselasi kiri : jika xa=ya maka x=y

d. Jawaban a dan b benar

Penyelesaian :

Diberikan  ax = ay.

Karena G grup dan a єG maka terdapat a^-1 sehingga aa^-1 = a^-1a = e dengan e identitas.

Akibatnya :

a^-1(ax) = a^-1(ay)

dan dengan menggunakan hukum asosiatif didapat :

(a^-1a)x = (a^-1a)y

Dan dengan hukum invers didapat :

ex = ey

dan dengan hukum identitas didapat :

x = y

6.      Perhatikan himpunan integer Z = {...,-I,O,I,2,...}.Tentukan apakah operasi berikut pada Z adalah asosiatif penjumlahan, pengurangan, perkalian?

a.         YA,YA,YA

b.        YA,TIDAK,TIDAK

c.         TIDAK,YA,YA

d.        YA,TIDAK,YA

e.         TIDAK,TIDAK,TIDAK

Penjelasan:

(a) Ya, karena (a+b)+c=a+(b+c) untuk sembarang integer a, b, dan c.

(b) Tidak. Sebagai contoh,(12-6)-2=4 tetapi 12-(6-2)=8. Di sini (12-6)-2

:I: 12-(6-2).

(c) Ya, karena (ab)c =a(bc) untuk sembarang integer a, b, dan c.

7.       Suatu Semigrup yang memiliki elemen identitas disebut….

a. Semigrup Abelian               c. Monoid

b. Subgrup                              d. Grup

Penjelasan :

Syarat dari Monoid adalah :

a.      Himpunan S tertutup dibawah operasi *

b.      Operasi * bersifat asosiatif

c.       Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *

8.      Suatu Monoid yang memiliki elemen invers disebut….

a. Semigrup                             c. Grup

b. Subgrup                              d. Semigrup Abelian

Penjelasan :

Syarat Dari Grup adalah :

a.         Himpunan S tertutup dibawah operasi *

b.        Operasi * bersifat asosiatif

c.         Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *

d.        Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *

9.      Dalam Sistem aljabar terdapat jenis himpunan Grup, dibawah ini terdapat syarat-syarat himpunan grup, kecuali ?

a.      Himpunan tertutup dibawah suatu operasi

b.      Operasi bersifat asosiatif

c.       Tidak terdapat elemen identitas

d.      Setiap anggota himpunan memiliki invers untuk operasi

Syarat Dari Grup adalah :

a.         Himpunan S tertutup dibawah operasi *

b.        Operasi * bersifat asosiatif

c.         Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *

d.        Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *

10.  Operasi * pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S berlaku ?

a.      a*b = b*a                                c. a dan b benar

b.      (a*b)*c = a*(b*c)                    d. a dan b salah

Penjelasan :

Rumus dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)